E4.3 Signalausbreitung und Freiraumdämpfung

Niveau: K2 Anwenden

Zeitbedarf: ca. 40 Minuten

Darstellung der Freiraumdämpfung - Von Averse, CC BY-SA 3.0,

Einstiegsfrage:
Ein Satellit sendet mit 1 Watt aus 1000 km Entfernung. Wie viel davon kommt bei deiner Antenne an – und warum hängt das von der Frequenz ab?

Ausbreitung auf Kugelschalen

Radiowellen breiten sich von einer punktförmigen Quelle kugelförmig aus. Ohne Richtantenne gibt es keine bevorzugte Richtung. Man nennt das isotrope Ausbreitung.

Die Energie auf einer Kugelschale um die Quelle bleibt gleich. Die Fläche der Kugel wächst aber mit A = 4π · R². Darum sinkt die Leistungsdichte (Leistung pro Fläche) mit 1/R².

Eigene Prinzipskizze (nach der Idee des «inverse square law»): Bei doppelter Distanz verteilt sich dieselbe Leistung auf die vierfache Fläche. Die Leistungsdichte sinkt mit 1/R².

Oder in der dreidimensionalen Darstellung - Von Averse, CC BY-SA 3.0,

Die Freiraumdämpfung

Genau genommen ist «Dämpfung» das falsche Wort. Im leeren Raum wird nichts absorbiert. Man ersetzt die Distanz einfach gedanklich durch ein Dämpfungsglied. So kann man mit dB weiterrechnen.

Die Freiraumdämpfung (englisch free space path loss, FSPL) ist ein Hauptteil jedes Linkbudgets.

Herleitung in drei Schritten

Der Sender strahlt P_tx mit dem Gewinn G_tx ab. Im Abstand R ist die Leistungsdichte P_tx · G_tx / (4π · R²). Die Empfangsantenne mit der wirksamen Fläche A_rx,eff nimmt davon P_rx = P_tx · G_tx · A_rx,eff / (4π · R²) auf.
Aus E4.2 wissen wir: A_rx,eff = G_rx · λ² / (4π). Eingesetzt ergibt das P_rx = P_tx · G_tx · G_rx · (λ / (4π · R))².
Mit λ = c / f wird daraus P_rx = P_tx · G_tx · G_rx · (c / (4π · R · f))².

In dB wird aus der Multiplikation eine Summe: P_rx = P_tx + G_tx + G_rx − 20 · log₁₀(f · R) + K. Die Konstante K enthält 4π und die Lichtgeschwindigkeit. Ihr Wert hängt davon ab, in welchen Einheiten du f und R einsetzt.

Konstante K in der Streckengleichung je nach Einheit von f und R

Einheit f	Einheit R	K
Hz	m	+147,55 dB
MHz	m	+27,55 dB
MHz	km	−32,45 dB
GHz	km	−92,45 dB

K = −20 · log₁₀(4π / c) mit c = 299 792 458 m/s, umgerechnet auf die jeweiligen Einheiten. Die Freiraumdämpfung als positive Zahl ist 20 · log₁₀(f · R) − K, z. B. 20 · log₁₀(f _MHz · R _km) + 32,45 dB.

Hinweis: P_tx + G_tx nennt man die EIRP (äquivalente isotrope Strahlungsleistung). Der Simulator zeigt sie in der Uplink-Kaskade an.

Rechenbeispiel

1000 km Distanz auf 144 MHz, mit f in MHz und R in km: −20 · log₁₀(144 · 1000) − 32,45 dB = −103,2 dB − 32,45 dB = −135,6 dB.

Sendest du 1 Watt (30 dBm) in einen Dipol (G_tx = 2,1 dBi) und empfängst mit einem zweiten Dipol, kommen an: 30 + 2,1 + 2,1 − 135,6 = −101,4 dBm. Ob das viel ist, klären wir in E4.4.

Rechner: Freiraumdämpfung und Empfangsleistung

Frequenz f (MHz) Distanz R (km)

Sendeleistung (W) G _tx (dBi) G _rx (dBi)

Formel: FSPL = 20 · log₁₀(f _MHz · R _km) + 32,45 dB; P _rx = P _tx + G _tx + G _rx − FSPL. Voreinstellung = Beispiel aus der Lektion.

Frequenzabhängigkeit der Strecke

Wir nehmen an, die Sendeleistung (PEP) bleibt gleich. Dann gilt bei doppelter Frequenz:

Die Strecke wird 6 dB schlechter (20 · log₁₀(2) = 6 dB).
Eine Richtantenne mit gleichen Abmessungen wird 6 dB besser (siehe E4.2).

Was das für die Wahl der Frequenz bedeutet, zeigt die Tabelle:

Frequenzabhängigkeit: doppelte Frequenz bei gleicher Leistung

Antennen an beiden Enden	Strecke	Antennengewinn	Ergebnis
2 × Rundstrahler	−6 dB	±0 dB	Niedrige Frequenzen sind besser
1 × Rundstrahler, 1 × Richtantenne	−6 dB	+6 dB	Alles gleich gut
2 × Richtantenne	−6 dB	+12 dB	Höhere Frequenzen sind besser

Annahme: gleiche Sendeleistung (PEP) und Richtantennen mit gleichen Abmessungen. Jede Richtantenne gewinnt bei doppelter Frequenz 6 dB, die Strecke verliert 6 dB.

Simulator-Aufgabe

Im Simulator vergleichst du die Freiraumdämpfung von 145 MHz und 435 MHz bei gleicher Distanz. Die Messwerte zeigen dafür «Streckendämpfung Up / Down (inkl. Atmosphäre)». Die Uplink-Frequenz liegt im Band 145 MHz, die Downlink-Frequenz im Band 435 MHz. Beide werden für dieselbe Distanz berechnet.

Stelle die Atmosphäre auf 0 dB, damit du die reine Freiraumdämpfung siehst. Richtwert: Bei AOS (etwa 2700 km) liegt die Freiraumdämpfung auf 145 MHz bei rund 144 dB, auf 435 MHz bei rund 154 dB.

Simulator-Aufgabe E4.3: Eingaben

Schritt	Feld	Wert
Zeitsteuerung	Zeitraffer	×60
1 · Orbit wählen	Preset	«LEO» (Perigäum 550 km, Apogäum 550 km, Inklination 53°)
2 · Position Bodenstation	Locator / Min. Elevation	JN47, «Position berechnen» (47,5° N, 9,0° E); Min. Elevation 0°
3 · Satellit: Ausrichtung und Mode	Ausrichtung	Voreinstellung lassen
3 · Satellit: Ausrichtung und Mode	Atmosphäre/Regen je Strecke (dB)	0
3 · Satellit: Ausrichtung und Mode	RX (Uplink) / TX (Downlink) Frequenz	Teil A: 145.900 / 435.500 MHz (Voreinstellung)
4 · Spektrum, Alarm & AGC und Kaskaden	alle Felder	Voreinstellung lassen
Zeitsteuerung	Tasten	«Pause», dann «Neustart», dann 4 × ▶ (jeder Klick = 60 s; Satellit ca. 3 min nach AOS, Zeit angehalten)
Teil B (Zeit bleibt angehalten)	RX (Uplink) / TX (Downlink) Frequenz	145.000 / 435.000 MHz

Die Streckendämpfung für Up- und Downlink wird mit derselben Distanz berechnet. Darum lassen sich beide Frequenzen direkt vergleichen.

Simulator-Aufgabe E4.3: erwartete Ergebnisse

Ablesen (Messwerte)	Erwartetes Ergebnis	Toleranz
Höhe / Distanz	Distanz d notieren (3 min nach AOS je nach Überflug ca. 1500 bis 2500 km; bei sehr flachen Überflügen ist der Satellit schon wieder unter dem Horizont – die Streckendämpfung wird trotzdem angezeigt)	–
Streckendämpfung Up, Teil A	32,45 + 20 · log₁₀(145,9) + 20 · log₁₀(d) dB	±0,1 dB
Streckendämpfung Down, Teil A	32,45 + 20 · log₁₀(435,5) + 20 · log₁₀(d) dB	±0,1 dB
Differenz Down − Up, Teil A	9,5 dB	±0,1 dB
Differenz Down − Up, Teil B	9,5 dB (genau 20 · log₁₀(435/145) = 9,54 dB)	±0,1 dB
Atmosphäre wieder auf 0,5 dB	beide Werte +0,5 dB, Differenz unverändert 9,5 dB	±0,1 dB

Sollwerte mit der Formel des Simulators nachgerechnet (dort 32,4478 statt 32,45 dB, Unterschied unter 0,01 dB). Richtwert: Bei AOS (d ≈ 2710 km) zeigt Down auf 435,5 MHz ohne Atmosphäre ca. 153,9 dB, bei einem Überflug im Zenit (d ≈ 550 km) ca. 140,0 dB.

Kontrollfrage: Die Differenz zwischen Down und Up bleibt 9,5 dB – egal, wie weit der Satellit entfernt ist und ob du 0 oder 0,5 dB Atmosphäre einstellst. Warum? Und bedeutet das, dass der 435-MHz-Downlink immer 9,5 dB schlechter ist?

Lösung anzeigen

In der Formel FSPL = 20 · log₁₀(f) + 20 · log₁₀(d) + 32,45 dB ist der Distanzanteil für beide Strecken gleich. Die Atmosphärendämpfung wird ebenfalls bei beiden gleich addiert. In der Differenz fällt beides weg. Es bleibt nur 20 · log₁₀(f₂ / f₁) = 20 · log₁₀(3) = 9,5 dB.

Schlechter ist der Downlink nur, wenn an beiden Enden Rundstrahler stehen. Eine Richtantenne mit gleichen Abmessungen hat auf der dreifachen Frequenz ebenfalls 9,5 dB mehr Gewinn und gleicht den Verlust der Strecke aus.

Merksatz:
Die Leistungsdichte sinkt mit 1/R². Doppelte Distanz oder doppelte Frequenz kosten je 6 dB Streckendämpfung. Mit Richtantennen an beiden Enden gewinnen höhere Frequenzen trotzdem

Formelkasten

Formelkasten: Streckengleichung

Linear (Leistungen in W, Gewinne als Faktor)

P_{rx} = P_{tx} \cdot G_{tx} \cdot G_{rx} \cdot {(\frac{λ}{4 π R})}^{2} = P_{tx} \cdot G_{tx} \cdot G_{rx} \cdot {(\frac{c}{4 π R f})}^{2}

P _rx, P _tx: Empfangs- und Sendeleistung in W; G _tx, G _rx: Antennengewinne als Faktor; λ: Wellenlänge in m; R: Distanz in m; f: Frequenz in Hz; c = 3 · 10⁸ m/s.

In dB (Pegel in dBm, Gewinne in dBi)

P_{rx} = P_{tx} + G_{tx} + G_{rx} - 20 \cdot \log_{10} (f \cdot R) + K

K hängt von den Einheiten ab: +147,55 dB (Hz, m), +27,55 dB (MHz, m), −32,45 dB (MHz, km), −92,45 dB (GHz, km).

Freiraumdämpfung als positive Zahl

FSPL = 20 \cdot \log_{10} (f_{MHz} \cdot R_{km}) + 32,45 dB

f in MHz, R in km. Beispiel: 144 MHz und 1000 km ergeben 135,6 dB.