E4.1 Logarithmus und Dezibel
Niveau: K2 Anwenden
Zeitbedarf: ca. 30 Minuten
Einstiegsfrage:
Ein Sender mit 1 Watt steht 1000 km entfernt. Bei deiner Antenne kommen rund 0,000 000 000 000 072 Watt an. Wie rechnest du bequem mit so kleinen und so grossen Zahlen?
Warum Logarithmen?
In der Funktechnik reichen die Leistungen von Kilowatt bis zu Billiardstel Watt. Mit solchen Zahlen lässt sich kaum im Kopf rechnen.
Der Logarithmus zur Basis 10 macht aus diesen Zahlen handliche Werte. Er beantwortet die Frage: «10 hoch wie viel ergibt diese Zahl?» Beispiel: log₁₀(1000) = 3, denn 10³ = 1000.
Die wichtigste Rechenregel: Aus einer Multiplikation wird eine Addition. Es gilt log₁₀(a · b) = log₁₀(a) + log₁₀(b). Ausserdem ist log₁₀(1) = 0.
Das Dezibel
Das Bel ist der Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungen: log₁₀(P₁ / P₂). Weil das Bel eine recht grosse Einheit ist, verwendet man den zehnten Teil davon, das Dezibel (dB).
Für Leistungen gilt: L = 10 · log₁₀(P₁ / P₂) dB.
Für Spannungen gilt: L = 20 · log₁₀(U₁ / U₂) dB. Der Faktor 20 kommt daher, dass die Leistung mit dem Quadrat der Spannung wächst.
Hinweis: Ein dB-Wert beschreibt immer ein Verhältnis. Schreibe deshalb nie «3 dB = 2 W». Richtig ist «+3 dB entspricht dem Faktor 2».
Merkwerte
Einige Werte solltest du auswendig kennen. Damit kannst du fast alles im Kopf rechnen.
Oft verwendete Leistungsverhältnisse in dB
| Dämpfung (dB) | Faktor (linear) | Verstärkung (dB) | Faktor (linear) |
|---|---|---|---|
| −3 dB | 0,5 (½) | +3 dB | 2 |
| −6 dB | 0,25 (¼) | +6 dB | 4 |
| −10 dB | 0,1 (1/10) | +10 dB | 10 |
| −20 dB | 0,01 (1/100) | +20 dB | 100 |
| −30 dB | 0,001 (1/1000) | +30 dB | 1000 |
Die Werte gelten für Leistungen (10 · log₁₀). Genau gerechnet ist 3 dB = Faktor 1,995 – im Alltag rechnet man mit 2.
Kopfrechnen mit dB
Zerlege den Faktor in bekannte Faktoren (2, 10, 100 …). Dann addierst du die dB-Werte. Ein Teilen wird zum Abziehen.
Kopfrechnen mit Dezibel: Faktor zerlegen, dB addieren
| Faktor | in dB | Rechenweg | genau gerechnet |
|---|---|---|---|
| × 8 | 9 dB | 8 = 2 · 2 · 2 → 3 + 3 + 3 dB | 9,03 dB |
| × 20 | 13 dB | 20 = 10 · 2 → 10 + 3 dB | 13,01 dB |
| × 1/8 | −9 dB | 1/8 = ½ · ½ · ½ → −3 − 3 − 3 dB | −9,03 dB |
| × 50 | 17 dB | 50 = 100 / 2 → 20 − 3 dB | 16,99 dB |
| × 3 | 5 dB | 3 ≈ √10 = 3,16 → 10 dB / 2 | 4,77 dB |
| × 1,25 | 1 dB | 1,25 = 10 / 8 → 10 − 9 dB | 0,97 dB |
| × 1,5 | 2 dB | 1,5 = 3 / 2 → 5 − 3 dB | 1,76 dB |
Spalte «genau gerechnet»: 10 · log₁₀(Faktor), mit Python nachgerechnet. Für die Praxis genügen die gerundeten Werte.
Absolute Pegel: dBm und dBi
Bezieht man eine Leistung auf einen festen Wert, wird aus dem Verhältnis ein absoluter Pegel. In der Funktechnik ist das meist 1 Milliwatt. Die Einheit heisst dann dBm.
Beispiele: 1 mW = 0 dBm, 1 W = 30 dBm, 100 W = 50 dBm. Das Signal aus der Einstiegsfrage hat etwa −101 dBm.
Bei Antennen begegnet dir dBi. Das ist der Gewinn bezogen auf einen gedachten Kugelstrahler. Mehr dazu in Lektion E4.2.
Hinweis: dBm ist auf den Folien nicht eigens erklärt, wird aber in den folgenden Lektionen gebraucht. Darum steht es hier als Ergänzung.
Probiere die Umrechnungen mit dem Rechner aus:
dB-Rechner
1. Leistungsverhältnis (linear) → dB
2. dB → Leistungsverhältnis und Spannungsverhältnis
3. Leistung in Watt ↔ dBm (Bezug 1 mW)
Dezimalkomma oder Dezimalpunkt sind beide erlaubt. Negative Werte mit Minuszeichen eingeben.
Merksatz:
Dezibel machen aus Multiplikationen Additionen. +3 dB verdoppelt die Leistung, +10 dB verzehnfacht sie. Bei Spannungen rechnest du mit 20 · log₁₀ statt 10 · log₁₀.
Formelkasten: Logarithmus und Dezibel
Logarithmus (Basis 10)
Der Logarithmus fragt: «10 hoch wie viel ergibt y?»
Rechenregeln
Aus einer Multiplikation wird eine Addition. Das macht die dB-Rechnung so bequem.
Dezibel für Leistungen
L: Pegelunterschied in dB; P₁, P₂: Leistungen in derselben Einheit (z. B. W). Das Verhältnis selbst hat keine Einheit.
Dezibel für Spannungen
U₁, U₂: Spannungen in V (gleicher Widerstand). Weil die Leistung mit dem Quadrat der Spannung wächst, steht hier 20 statt 10.
Absoluter Pegel in dBm
P: Leistung in mW. 0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W.